Se
é uma função contínua tal que
, quanto vale
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função contínua
e sabe que a integral de
de -3 a 3 é igual a 4. A questão pede para a gente encontrar o valor da integral de
de 1 a 4. Vamos usar conceitos de substituição em integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que na integral que queremos calcular, temos
. Para simplificar, vamos fazer uma substituição para deixar a integral em termos de
.
Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 4
Também precisamos mudar os limites de integração de acordo com a nova variável
:
Quando
:
Quando
:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral:
A gente pode trocar os limites e remover o sinal negativo:
Passo 6
Mas ainda temos um problema: a integral está em termos de
e
. Precisamos expressar
em função de
:
Passo 7
Substituindo
na integral:
Passo 8
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 9
Sabemos que:
Podemos reescrever isso como:
Isso nos mostra que:
Passo 10
Vamos voltar à nossa expressão:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral
é -1.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais :
Seja
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Calcular as derivadas:
Obtenha
.