Se f é uma função contínua tal que integral-3^3(x-5) f(x) d x=4, quanto vale integral1^4 x f(5-2 x) d x ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função contínua e sabe que a integral de de -3 a 3 é igual a 4. A questão pede para a gente encontrar o valor da integral de de 1 a 4. Vamos usar conceitos de substituição em integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que na integral que queremos calcular, temos u = 5 - 2x . Para simplificar, vamos fazer uma substituição para deixar a integral em termos de .
Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = -2 dx em termos de Rightarrow dx = -12 du :

Passo 4

Também precisamos mudar os limites de integração de acordo com a nova variável u = 5 - 2(1) = 3 :
Quando u = 5 - 2(4) = -3 :
Quando :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
integral1^4 x f(5 - 2x) dx = integral3^-3 x cdot f(u) cdot ( -12 du )
A gente pode trocar os limites e remover o sinal negativo:
= 12 integral-3^3 x cdot f(u) du

Passo 6

Mas ainda temos um problema: a integral está em termos de u = 5 - 2x e 2x = 5 - u . Precisamos expressar x = 5 - u2 em função de :

Passo 7

Substituindo 12 integral-3^3 ( 5 - u2 ) f(u) du = 14 integral-3^3 (5 - u) f(u) du na integral:

Passo 8

Podemos separar a integral em duas partes:
14 ( integral-3^3 5f(u) du - integral-3^3 u f(u) du )

Passo 9

Sabemos que:
integral-3^3 (x - 5) f(x) dx = 4
Podemos reescrever isso como:
integral-3^3 x f(x) dx - 5 integral-3^3 f(x) dx = 4
Isso nos mostra que:
integral-3^3 x f(x) dx = 4 + 5 integral-3^3 f(x) dx

Passo 10

Vamos voltar à nossa expressão:
14 ( 5 integral-3^3 f(u) du - ( 4 + 5 integral-3^3 f(u) du ) )
Simplificando:
14 (5I - 4 - 5I) = 14 (-4) = -1

Resposta

O valor da integral é -1.

Exercícios relacionados

Calcular as integrais :
integral0^pi / 4(cos x+4)^2 d x
Seja g(x) = x^2 + 3x + 1. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) no ponto (-1, g(-1)).
Calcular as derivadas:
dd x integral-x^arccos x cos ^20 t d t
Obtenha r'(t).