Calcular as integrais :
integral0^pi / 4(cos x+4)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função polinomial envolvendo o cosseno. Para resolver isso, vamos precisar expandir o quadrado da expressão dentro da integral e então integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (cos x + 4)^2 = cos^2x + 8cos x + 16 . Lembre-se que . Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora que temos a expressão expandida, podemos reescrever a integral como a soma de três integrais:
integral0^pi / 4 (cos^2x + 8cos x + 16) , dx = integral0^pi / 4 cos^2x , dx + 8integral0^pi / 4 cos x , dx + integral0^pi / 4 16 , dx

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando com cos^2x = 1 + cos(2x)2 . Para integrar integral cos^2x , dx = integral 1 + cos(2x)2 , dx = 12 integral 1 , dx + 12 integral cos(2x) , dx , usamos a identidade trigonométrica:
12x + 14sin(2x) + C
Então,
Integrando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: 8integral cos x , dx = 8sin x + C . A integral de é , então:

Passo 6

A terceira integral é 16x + C . Integrando isso, temos:

Passo 7

Agora, juntando todas as partes, a antiderivada completa da função original é:
12x + 14sin(2x) + 8sin x + 16x + C = (12 + 16)x + 14sin(2x) + 8sin x + C = 332x + 14sin(2x) + 8sin x + C

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de [ 332x + 14sin(2x) + 8sin x ]0^pi/4 = ( 332 cdot pi4 + 14sin(pi2) + 8sin(pi4) ) - ( 0 + 0 + 0 ) a 33pi8 + 14 cdot 1 + 8 cdot raiz22 = 33pi8 + 14 + 4raiz2 :
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Seja g(x) = x^2 + 3x + 1. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) no ponto (-1, g(-1)).
S é a superfície do cubo limitado por x = -1, y = -1, z = -1, x = 1, y = 1 e z = 1
Se f é uma função contínua tal que integral-3^3(x-5) f(x) d x=4, quanto vale integral1^4 x f(5-2 x) d x ?
Calcular as derivadas:
dd x integral-x^arccos x cos ^20 t d t