Calcular as derivadas:
Passo 1
Então, temos aqui um exercício que pede para calcular a derivada de uma integral cujo limite superior depende de
. A matéria envolvida é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra e também saber derivar funções trigonométricas como a tangente ().
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra de Leibniz. Ela nos diz que se temos uma integral da forma:
sendo
constante e
uma função de
, então a derivada dessa integral em relação a
é dada por:
Isso significa que para encontrar a derivada, basta avaliar a função integranda no limite superior e multiplicar pela derivada desse limite.
Passo 3
Aplicando a Regra de Leibniz ao nosso caso, temos:
Vamos simplificar cada parte dessa expressão.
Passo 4
Primeiro, simplificamos
. Sabemos que
(ou arco-tangente) é a função inversa da tangente, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Então, substituindo na expressão:
Passo 6
Por fim, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
Passo 7
Substituindo tudo na expressão original:
Resposta
A derivada é igual a
.