Calcular as derivadas:
dd x integral6^tg x arctg t1+t^2 d t

Passo 1

Então, temos aqui um exercício que pede para calcular a derivada de uma integral cujo limite superior depende de . A matéria envolvida é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra e também saber derivar funções trigonométricas como a tangente ().

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra de Leibniz. Ela nos diz que se temos uma integral da forma:
integrala^u(x) f(t) , dt
sendo ddx integrala^u(x) f(t) , dt = f(u(x)) cdot u'(x) constante e uma função de , então a derivada dessa integral em relação a é dada por:
Isso significa que para encontrar a derivada, basta avaliar a função integranda no limite superior e multiplicar pela derivada desse limite.

Passo 3

Aplicando a Regra de Leibniz ao nosso caso, temos:
ddx integral6^tg x arctg t1+t^2 , dt = arctg (tg x)1 + (tg x)^2 cdot ddx (tg x)
Vamos simplificar cada parte dessa expressão.

Passo 4

Primeiro, simplificamos arctg (tg x) = x (desde que x esteja no domínio adequado) . Sabemos que (ou arco-tangente) é a função inversa da tangente, então:
í

Passo 5

Agora, vamos calcular 1 + tan^2 x = sec^2 x . Sabemos pela identidade trigonométrica que:
arctg (tg x)1 + (tg x)^2 = xsec^2 x
Então, substituindo na expressão:

Passo 6

Por fim, precisamos calcular a derivada de ddx (tg x) = sec^2 x em relação a . Sabemos que:

Passo 7

Substituindo tudo na expressão original:
ddx integral6^tg x arctg t1+t^2 , dt = xsec^2 x cdot sec^2 x = x

Resposta

A derivada é igual a .

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