Calcular as derivadas:

Passo 1

Então, temos aqui um exercício que pede para calcular a derivada de uma integral cujo limite superior depende de . A matéria envolvida é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra e também saber derivar funções trigonométricas como a tangente ().

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra de Leibniz. Ela nos diz que se temos uma integral da forma:
sendo constante e uma função de , então a derivada dessa integral em relação a é dada por:
Isso significa que para encontrar a derivada, basta avaliar a função integranda no limite superior e multiplicar pela derivada desse limite.

Passo 3

Aplicando a Regra de Leibniz ao nosso caso, temos:
Vamos simplificar cada parte dessa expressão.

Passo 4

Primeiro, simplificamos . Sabemos que (ou arco-tangente) é a função inversa da tangente, então:
í

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Então, substituindo na expressão:

Passo 6

Por fim, precisamos calcular a derivada de em relação a . Sabemos que:

Passo 7

Substituindo tudo na expressão original:

Resposta

A derivada é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre a derivada das funções a seguir.
36.
Resp.:
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
© Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(e) Calcule a área abaixo da curva (delimitada pelo eixo x), entre os pontos .
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(f) Calcule o comprimento de arco da curva, em .