Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(e) Calcule a área abaixo da curva (delimitada pelo eixo x), entre os pontos .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pelas equações paramétricas e . Queremos calcular a área abaixo dessa curva, limitada pelo eixo , e entre os pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de integração aplicado a curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir os valores de que correspondem aos pontos dados. Vamos começar com o ponto :
Checando :
Então, para o ponto , temos .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de para o ponto :
Verificando para :
Para :
Como queremos o ponto , usamos .

Passo 4

Agora que temos os valores de de a , vamos calcular a área usando a fórmula para curvas parametrizadas:
Primeiro, calculamos :

Passo 5

Substituindo e na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando:
Então, a integral fica:

Passo 7

Calculando nos limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área abaixo da curva é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcular as derivadas:
Encontre a derivada das funções a seguir.
36.
Resp.:
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(f) Calcule o comprimento de arco da curva, em .
Determine a solução completa das equações não-homogêneas: