Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
(f) Calcule o comprimento de arco da curva, em
.
(f) Calcule o comprimento de arco da curva, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas
e
. O que a gente precisa calcular é o comprimento de arco dessa curva no intervalo de
de 0 a 1. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. A fórmula que usamos é:
Aqui,
e
são as derivadas de
e
em relação a
, e
e
são os limites do intervalo de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver essa integral usando a substituição
. Então:
Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos integrar
:
Então:
Passo 8
Calculando os valores:
Portanto:
Resposta
O comprimento de arco da curva no intervalo de
é
unidades.
Exercícios relacionados
Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
(e) Calcule a área abaixo da curva (delimitada pelo eixo x), entre os pontos .
(e) Calcule a área abaixo da curva (delimitada pelo eixo x), entre os pontos
Calcular as derivadas:
Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
Encontre a derivada das funções a seguir.
38.
Resp.:
38.
Resp.: