Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(f) Calcule o comprimento de arco da curva, em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas e . O que a gente precisa calcular é o comprimento de arco dessa curva no intervalo de de 0 a 1. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. A fórmula que usamos é:
Aqui, e são as derivadas de e em relação a , e e são os limites do intervalo de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver essa integral usando a substituição . Então:
Quando , , e quando , . Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos integrar :
Então:

Passo 8

Calculando os valores:
Portanto:

Resposta

O comprimento de arco da curva no intervalo de é unidades.

Exercícios relacionados

Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(e) Calcule a área abaixo da curva (delimitada pelo eixo x), entre os pontos .
Calcular as derivadas:
Determine a solução completa das equações não-homogêneas:
Encontre a derivada das funções a seguir.
38.
Resp.: