Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
© Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a concavidade de uma curva definida por equações paramétricas. O enunciado nos dá as equações e . Nosso objetivo é descobrir onde a concavidade da curva está para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a segunda derivada da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Como temos as equações paramétricas, usamos a regra da cadeia:
Vamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da primeira derivada:
Então, .

Passo 5

Para encontrar a concavidade, precisamos da segunda derivada . Usamos a seguinte fórmula:
Já sabemos que , então vamos derivar isso em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da segunda derivada:

Passo 7

Vamos analisar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para determinar a concavidade.
  • Se , a concavidade está para cima.
  • Se , a concavidade está para baixo.

Passo 8

Analisando :
  • Quando :
  • Quando :

Resposta

A curva possui concavidade para cima quando e concavidade para baixo quando .

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Calcular as derivadas:
a)
Calcular as integrais :
Encontre a derivada das funções a seguir.
36.
Resp.:
Calcular as derivadas: