Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
© Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
© Determine onde sua concavidade é para cima ou para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a concavidade de uma curva definida por equações paramétricas. O enunciado nos dá as equações
e
. Nosso objetivo é descobrir onde a concavidade da curva está para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a segunda derivada da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Como temos as equações paramétricas, usamos a regra da cadeia:
Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da primeira derivada:
Então,
.
Passo 5
Para encontrar a concavidade, precisamos da segunda derivada
. Usamos a seguinte fórmula:
Já sabemos que
, então vamos derivar isso em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula da segunda derivada:
Passo 7
Vamos analisar onde a segunda derivada é positiva ou negativa para determinar a concavidade.
- Se
, a concavidade está para cima. - Se
, a concavidade está para baixo.
Passo 8
Analisando
:
- Quando
:
- Quando
:
Resposta
A curva
possui concavidade para cima quando
e concavidade para baixo quando
.
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas:
a)
a)
Calcular as integrais :
Encontre a derivada das funções a seguir.
36.
Resp.:
36.
Resp.:
Calcular as derivadas: