Calcular as derivadas: dd x integral6^tg x arctg t1+t^2 d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de uma integral definida: dd x integral6^tg x arctg t1+t^2 d t. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente aplicando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dentro da integral: arctg t1+t^2. Queremos encontrar a derivada dessa integral em relação a , onde o limite superior da integral é .

Passo 3

De acordo com o teorema fundamental do cálculo, se tivermos uma integral da forma , sua derivada em relação a é . Aqui, e .

Passo 4

Aplicando o teorema, temos:
dd x integral6^tg x arctg t1+t^2 d t = arctg (tg x)1+(tg x)^2 cdot dd x (tg x)

Passo 5

Simplificamos a expressão . Sabemos que quando está no intervalo de a .

Passo 6

Calculamos . Lembrando que .

Passo 7

Agora, calculamos a derivada de , que é .

Passo 8

Substituindo tudo na expressão:
dd x integral6^tg x arctg t1+t^2 d t = x1cos^2 x cdot 1cos^2 x = x

Resposta

A derivada é igual a .

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