Calcule e justifique.
Passo 1
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 7 da expressão
. Aqui a gente vai usar conceitos de cálculo de limites e técnicas de racionalização para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Encontramos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver expressões com raízes quadradas é a racionalização. Vamos começar racionalizando o numerador. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é
:
Aqui, utilizamos a propriedade
para simplificar o numerador.
Passo 4
Agora temos uma nova expressão:
Perceba que
no numerador pode ser fatorado ou cancelado com termos no denominador, mas ainda precisamos simplificar mais.
Passo 5
Vamos focar na parte
do denominador. Vamos racionalizar essa expressão multiplicando e dividindo pelo conjugado dela, que é
:
Usamos novamente a propriedade
para simplificar o denominador interno.
Passo 6
Simplificamos as expressões no denominador:
Então, substituindo na expressão:
Aqui, os termos
se cancelam, deixando uma expressão mais simples para calcular o limite.
Passo 7
Agora que a expressão está simplificada, podemos substituir
sem problemas:
Resposta
O limite é
.