Calcule e justifique. lim x 7 raizx-raiz7raizx+7-raiz14

Passo 1

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 7 da expressão . Aqui a gente vai usar conceitos de cálculo de limites e técnicas de racionalização para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz7 - raiz7raiz14 - raiz14 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver expressões com raízes quadradas é a racionalização. Vamos começar racionalizando o numerador. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é raizx - raiz7raizx + 7 - raiz14 times raizx + raiz7raizx + raiz7 = x - 7(raizx + 7 - raiz14)(raizx + raiz7) :
Aqui, utilizamos a propriedade para simplificar o numerador.

Passo 4

Agora temos uma nova expressão:
x - 7(raizx + 7 - raiz14)(raizx + raiz7)
Perceba que no numerador pode ser fatorado ou cancelado com termos no denominador, mas ainda precisamos simplificar mais.

Passo 5

Vamos focar na parte x - 7(raizx + 7 - raiz14)(raizx + raiz7) times raizx + 7 + raiz14raizx + 7 + raiz14 = (x - 7)(raizx + 7 + raiz14)(x + 7 - 14)(raizx + raiz7) do denominador. Vamos racionalizar essa expressão multiplicando e dividindo pelo conjugado dela, que é :
Usamos novamente a propriedade para simplificar o denominador interno.

Passo 6

Simplificamos as expressões no denominador:
x + 7 - 14 = x - 7
Então, substituindo na expressão:
(x - 7)(raizx + 7 + raiz14)(x - 7)(raizx + raiz7) = raizx + 7 + raiz14raizx + raiz7
Aqui, os termos se cancelam, deixando uma expressão mais simples para calcular o limite.

Passo 7

Agora que a expressão está simplificada, podemos substituir raiz14 + raiz14raiz7 + raiz7 = 2raiz142raiz7 = raiz14raiz7 = raiz2 sem problemas:

Resposta

O limite é .

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