NotasDeAulas [2024] Dada a equação paramétrica da reta

Marque Verdadeiro (V) ou Falso (F):
( ) Para o ponto é ;
( ) O ponto pertence a reta
( ) a reta intersepta a reta ;
( ) a inclinação da reta é dada pela ;
( ) as equações paramétricas apesentadas não representa uma reta.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está perguntando. Temos a equação paramétrica de uma reta no espaço tridimensional:
Nosso objetivo é verificar cinco afirmações sobre essa reta e decidir se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para isso, vamos precisar entender como funcionam as equações paramétricas de uma reta e como determinar pontos e inclinações a partir delas.

Passo 2

Primeira afirmação: Para , o ponto é .
Vamos calcular as coordenadas do ponto quando .
Usando as equações paramétricas:
O ponto correspondente é , não . Portanto, a afirmação é Falsa.

Passo 3

Segunda afirmação: O ponto pertence à reta .
Para verificar se um ponto pertence à reta, devemos encontrar um valor de que satisfaça todas as três equações paramétricas.
Vamos supor que existe um tal que:
Encontramos que satisfaz todas as três equações. Portanto, o ponto pertence à reta . A afirmação é Verdadeira.

Passo 4

Terceira afirmação: A reta intercepta a reta .
Para verificar se duas retas se interceptam, precisamos encontrar valores de e tais que as coordenadas sejam iguais.
Igualando as coordenadas:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Agora, verificamos na equação (3):
Como todas as equações são satisfeitas com e , as retas se interceptam. Portanto, a afirmação é Verdadeira.

Passo 5

Quarta afirmação: A inclinação da reta é dada por .
A inclinação de uma reta em 3D não é tão simples quanto em 2D, mas podemos interpretar como a taxa de variação de em relação a .
Usando as equações paramétricas:
Portanto, a inclinação é de fato . A afirmação é Verdadeira.

Passo 6

Quinta afirmação: As equações paramétricas apresentadas não representam uma reta.
As equações paramétricas dadas são:
Essas equações são lineares e todas dependem linearmente do parâmetro , o que caracteriza uma reta no espaço tridimensional. Portanto, as equações paramétricas representam uma reta. A afirmação é Falsa.

Resposta

  1. F
  2. V
  3. V
  4. V
  5. F

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