Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas, especificamente aplicando as regras de derivação como a regra do quociente e a regra da potência. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas básicas de derivação e aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Podemos reescrever a função como um produto para aplicar a regra do produto mais facilmente.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de é , onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
Para , usamos a regra da cadeia:
Para , aplicamos a regra da potência:

Passo 5

Agora, substituímos e na regra do produto:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:

Passo 7

Podemos fatorar para simplificar ainda mais:

Passo 8

Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule os limites no infinito: .
Calcule os limites :