Calcular as derivadas das funções dadas abaixo:
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável, como é o caso aqui com as variáveis e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função pode ser vista como um produto de duas funções de :
Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Vamos agora derivar cada parte separadamente.

Passo 4

Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para , usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos a raiz quadrada como uma potência:
Agora, derivamos:

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão original:
Simplificando a segunda parte:

Passo 6

Para simplificar ainda mais, podemos colocar os termos sobre um denominador comum:
Distribuindo e somando os termos no numerador:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Aqui, é tratado como uma constante em relação a , então aplicamos a regra da cadeia para derivar a parte que depende de .

Passo 8

Derivando em relação a :
Reescrevendo a raiz quadrada como uma potência:
Simplificando:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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d)
Para a função definida implicitamente por , verifique que o ponto está na curva e determine e no ponto . [Resp: .