Calcular as derivadas das funções dadas abaixo:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas da função
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável, como é o caso aqui com as variáveis
e
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
pode ser vista como um produto de duas funções de
:
Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Vamos agora derivar cada parte separadamente.
Passo 4
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Para , usamos a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos a raiz quadrada como uma potência:
Para
Agora, derivamos:
Passo 5
Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão original:
Simplificando a segunda parte:
Passo 6
Para simplificar ainda mais, podemos colocar os termos sobre um denominador comum:
Distribuindo e somando os termos no numerador:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
, então aplicamos a regra da cadeia para derivar a parte que depende de
.
Passo 8
Derivando em relação a
:
Reescrevendo a raiz quadrada como uma potência:
Simplificando:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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Encontre a transformada Laplace de:
Determine o valor dos limites, quando existirem:
d)
d)
Para a função
definida implicitamente por
, verifique que o ponto
está na curva e determine
e
no ponto
. [Resp:
.