Encontre a transformada Laplace de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada de Laplace da função . Então, primeiro, vamos entender que isso envolve a matéria de Transformadas de Laplace, especialmente a propriedade de deslocamento no tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de transformação para funções multiplicadas por a função degrau unitário .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função . Sabemos que é zero para e igual a 1 para . Então, a função basicamente “liga” o termo a partir de .

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace. A propriedade diz que:
onde é a transformada de Laplace de .

Passo 4

Para aplicar essa propriedade, precisamos expressar na forma de . Podemos reescrever como :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo separadamente, usando a propriedade de deslocamento.
Primeiro, para :
Segundo, para :

Passo 6

Agora, juntamos os resultados dos dois termos:

Passo 7

Podemos fatorar o para simplificar a expressão:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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Calcular as derivadas das funções dadas abaixo:
b) .