Determine o valor dos limites, quando existirem:
d) lim (x, y) (4, pi) x^2 sen yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Precisamos entender como a função se comporta quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e funções trigonométricas, especialmente o comportamento do seno próximo a certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do seno: yx pi4 . Quando , temos:
Então, o argumento do seno está se aproximando de .

Passo 3

Sabemos que o seno de sen ( yx ) sen ( pi4 ) = raiz22 é . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos considerar o x^2 4^2 = 16 quando :

Passo 5

Finalmente, multiplicamos os dois resultados:

Resposta

O limite é .

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