Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série:
Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, se :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, .
Passo 3
Vamos calcular :
Passo 4
Agora, vamos encontrar o limite quando tende ao infinito:
Passo 5
Como o limite que é menor que 1, isso significa que a série converge para todos os valores de . Ou seja, não há restrição para o valor de .
Resposta
O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).