Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sum x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da seguinte série:
sum x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)
Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, se :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, .

Passo 3

Vamos calcular an+1an = x^n+11 cdot 3 cdot 5 cdots(2(n+1)-1)x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots(2n-1) = x^n+1x^n cdot 1 cdot 3 cdot 5 cdots(2n-1)1 cdot 3 cdot 5 cdots(2n+1) = x cdot 12n+1 :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite quando limn to infty | x cdot 12n+1 | = |x| cdot limn to infty 12n+1 = |x| cdot 0 = 0 tende ao infinito:

Passo 5

Como o limite que é menor que 1, isso significa que a série converge para todos os valores de . Ou seja, não há restrição para o valor de .

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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