Calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável e depois esboçar o gráfico dela. A função que temos é uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do intervalo de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas laterais e como calcular derivadas de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode não ser derivável. Geralmente, isso acontece nos pontos onde a função muda de expressão, porque pode haver algum “quiebre” no gráfico. Olhando para a nossa função:
Vemos que as mudanças ocorrem em e . Então, esses são os pontos onde vamos verificar as derivadas laterais.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas laterais em cada um desses pontos.
Derivada em :
Derivada à esquerda ( ):
A função para é .
A derivada dessa parte é:
Então, substituindo :
Derivada à direita ( ):
Para até , a função é constante .
A derivada de uma constante é 0:
Derivada em :
Derivada à esquerda ( ):
Para até , a função é constante .
A derivada é:
Derivada à direita ( ):
Para , a função é .
A derivada dessa parte é:
Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas laterais, podemos concluir onde a função não é diferenciável. Isso acontece quando as derivadas à esquerda e à direita não são iguais.
  • Em :
    Então, a função não é diferenciável em .
  • Em :
    Então, a função também não é diferenciável em .
Por fim, para esboçar o gráfico, vamos observar cada parte:
  • Para , a função é , que é uma parábola voltada para baixo.
  • Entre e , a função é constante , formando uma linha horizontal.
  • Para , a função é , que é uma reta crescente.

Resposta

A função não é derivável nos pontos e . As derivadas laterais nesses pontos são:
Além disso, o gráfico da função é constituído por uma parábola para , uma linha horizontal para e uma reta crescente para , apresentando “quebras” nos pontos e .

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