Determine a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. A gente vai trabalhar com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar achar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica para
é:
Resolvendo para
:
Passo 4
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, vamos achar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é
, que já está na forma das soluções da homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular. Assim, assumimos:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituindo
e
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Determine a solução do problema.
Resolva a equação.
Encontrar
. $f(x)=e^{|2 x…
Calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico.