Determine a solução geral. ddot(x) + x = sen(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . A gente vai trabalhar com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar achar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica para é:
Resolvendo para r:

Passo 4

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação homogênea é:
Onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, vamos achar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é , que já está na forma das soluções da homogênea, precisamos multiplicar por t para encontrar uma solução particular. Assim, assumimos:
Onde C e D são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituímos , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos e cos(t):
Para :
Para cos(t):

Passo 9

Substituindo C e D na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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