Calcule a derivada das funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com derivadas de funções logarítmicas e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecimentos sobre derivadas de logaritmos e funções de potência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. Sabemos que é o mesmo que , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que podemos usar uma propriedade dos logaritmos que nos permite trazer o expoente para frente. A propriedade é . Aplicando isso na nossa função:

Passo 4

Para derivar essa função, precisamos saber como derivar um logaritmo com base diferente de . Sabemos que:
Onde é o logaritmo natural de . No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, lembramos que nossa função tem um coeficiente na frente do logaritmo. Então, aplicando a regra da constante multiplicando a derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico.
Encontrar .
Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto .