Calcular as derivadas parciais de 1 åordem das funções:
g) f(x, y) = { 5xy^2 / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0); 0, (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é definida de duas maneiras:
Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira ordem dessa função, ou seja, e . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de várias variáveis e entender como lidar com funções definidas por partes.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, , quando .
A função é:
Para derivar essa função em relação a , vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 3

Calculando as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, , quando .
Usando novamente a regra do quociente, onde agora e .

Passo 6

Calculando as derivadas de e em relação a :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Calcular as derivadas parciais de 1 åordem das funções:
d) z = e^(x^2 + y^2 - 4)
Determine cada limite abaixo.
lim x 4 raiz2 x+1-3x-4
Calcular as derivadas parciais de 1 åordem das funções:
f) z = raiz(x^2 + y^2) - x^2 - y^2
Calcule cada um dos limites indicados
f(x)=ccx^2, & se x<2 x+1, & se x=2 -x^2+2 x+4, & se x>2
lim x 2^- f(x)