Determine cada limite abaixo.
lim x 4 raiz2 x+1-3x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente lidando com limites que dão uma forma do tipo , que é indeterminada. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro, percebemos que se substituirmos raiz2 times 4 +1 - 34 - 4 = raiz9 - 30 = 3 - 30 = 00 diretamente na expressão, teremos:
Isso nos dá uma indeterminação, o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. A conjugada de raiz2x+1-3x-4 times raiz2x+1+3raiz2x+1+3 = (raiz2x+1)^2 - 3^2(x -4)(raiz2x+1+3) é . Então, multiplicamos:

Passo 4

Agora, simplificando o numerador:
(raiz2x+1)^2 - 3^2 = (2x +1) - 9 = 2x -8
Então, temos:
2x -8(x -4)(raiz2x+1+3)

Passo 5

Podemos fatorar o numerador 2x -8 = 2(x -4) :
2(x -4)(x -4)(raiz2x+1+3) = 2raiz2x+1+3
Substituindo de volta na fração:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo 2raiz2 times 4 +1 +3 = 2raiz9 +3 = 23 +3 = 26 = 13 :

Resposta

O limite é .

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