Calcular as derivadas parciais indicadas:
12) z=r+sv, r=x cos y, s=y sen x, v=2 x-y, partial zpartial x= ? , partial zpartial y= ?
R: partial zpartial x=1v cos y+yv cos x-2(r+s)v^2, partial zpartial y=-xv sen y+1v sen x+s+rv^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função , onde , e . Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra do quociente e a regra da cadeia, já que temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial zpartial x = v cdot partial (r + s)partial x - (r + s) cdot partial vpartial xv^2 . Como partial (r + s)partial x = cos y + y cos x , usamos a regra do quociente:
partial zpartial x = v (cos y + y cos x) - (r + s)(2)v^2 = (cos y + y cos x)v - 2(r + s)v^2
Agora, vamos encontrar as derivadas necessárias:
  • (porque )
  • (porque e derivamos em relação a )
  • (porque )
Substituindo essas no nosso cálculo:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular partial zpartial y = v cdot partial (r + s)partial y - (r + s) cdot partial vpartial yv^2 da mesma forma. Usando a regra do quociente:
partial (r + s)partial y = -x sin y + sin x
Vamos encontrar as derivadas necessárias:
  • partial zpartial y = v (-x sin y + sin x) - (r + s)(-1)v^2 = -x sin y + sin x v + r + sv^2 (derivando em relação a )
  • (derivando em relação a )
  • (porque )
Substituindo essas no nosso cálculo:
Então,

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial x = 1v cos y + yv cos x - 2(r + s)v^2 são:
partial zpartial y = -xv sin y + 1v sin x + r + sv^2

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