Calcular as derivadas parciais indicadas:
3) z=ln raiz1+x y1-x y, partial^2 zpartial y partial x= ?, R : 1+x^2 y^2(1-x^2 y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada parcial de segunda ordem, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos dividir isso passo a passo para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função z = 12 ln ( 1 + xy1 - xy ) . Sabemos que . Então, podemos reescrever assim:
Isso vai facilitar nossas derivadas depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial zpartial x = 12 cdot 11 + xy1 - xy cdot partialpartial x ( 1 + xy1 - xy ) em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Simplificando a fração dentro do logaritmo:
11 + xy1 - xy = 1 - xy1 + xy
E a derivada da fração partialpartial x ( 1 + xy1 - xy ) = y(1 - xy) + y(1 + xy)(1 - xy)^2 = 2y(1 - xy)^2 em relação a :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial zpartial x = 12 cdot 1 - xy1 + xy cdot 2y(1 - xy)^2 = y(1 + xy)(1 - xy)
Aí temos a primeira derivada parcial de em relação a .

Passo 6

Agora, vamos derivar partial^2 zpartial y partial x = partialpartial y ( y(1 + xy)(1 - xy) ) em relação a para encontrar :
Vamos usar a regra do quociente e a regra do produto para essa derivada.

Passo 7

Primeiro, reescrevemos a expressão para facilitar a derivação:
y(1 + xy)(1 - xy) = y1 - x^2 y^2
Agora, derivamos em relação a partialpartial y ( y1 - x^2 y^2 ) = (1)(1 - x^2 y^2) - y(-2x^2 y)(1 - x^2 y^2)^2 = 1 - x^2 y^2 + 2x^2 y^2(1 - x^2 y^2)^2 :
1 - x^2 y^2 + 2x^2 y^2 = 1 + x^2 y^2
Simplificando o numerador:

Resposta

Então, a derivada parcial de segunda ordem é:
partial^2 zpartial y partial x = 1 + x^2 y^2(1 - x^2 y^2)^2

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