Calcular as derivadas parciais indicadas:
3) ?, R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar a derivada parcial de segunda ordem, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos dividir isso passo a passo para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função . Sabemos que . Então, podemos reescrever assim:
Isso vai facilitar nossas derivadas depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 4

Simplificando a fração dentro do logaritmo:
E a derivada da fração em relação a :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Aí temos a primeira derivada parcial de em relação a .

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Vamos usar a regra do quociente e a regra do produto para essa derivada.

Passo 7

Primeiro, reescrevemos a expressão para facilitar a derivação:
Agora, derivamos em relação a :
Simplificando o numerador:

Resposta

Então, a derivada parcial de segunda ordem é:

Exercícios relacionados

(a) Quantos reais você terá na sua conta após 8 anos, se a taxa de juros é de a.a.?
Considere a função , de domínio R , definida por .
Estude a monotonia da função , no intervalo , indicando o valor dos extremos relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.
Calcular as derivadas parciais indicadas:
7) ?, R :
Calcular as derivadas parciais indicadas:
12) ? , ?