Calcular as derivadas parciais indicadas:
3)
?, R
3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos encontrar a derivada parcial de segunda ordem, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos dividir isso passo a passo para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função
. Sabemos que
. Então, podemos reescrever
assim:
Isso vai facilitar nossas derivadas depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 4
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
E a derivada da fração
em relação a
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Aí temos a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Vamos usar a regra do quociente e a regra do produto para essa derivada.
Passo 7
Primeiro, reescrevemos a expressão para facilitar a derivação:
Agora, derivamos em relação a
:
Simplificando o numerador:
Resposta
Então, a derivada parcial de segunda ordem é:
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(a) Quantos reais você terá na sua conta após 8 anos, se a taxa de juros é de
a.a.?
Considere a função
, de domínio R , definida por
.
Estude a monotonia da função , no intervalo
, indicando o valor dos extremos relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.
Estude a monotonia da função
Calcular as derivadas parciais indicadas:
7) ?, R :
7)
Calcular as derivadas parciais indicadas:
12) ? ,
?
12)