Calcular as derivadas parciais indicadas:
14) ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função onde , e . Precisamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Além disso, precisaremos conhecer as derivadas básicas das funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir , e na função para expressá-la totalmente em termos de :
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade das exponenciais onde .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a , . Aplicamos a derivada termo a termo:
A derivada de uma constante, como 1, é zero. Para os outros termos, usamos a Regra do Produto, que diz que .

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto:
  1. Para :
  1. Para :
Portanto, a primeira derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão da primeira derivada:
Podemos fatorar:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , . Derivamos novamente a primeira derivada:
Vamos derivar termo a termo.

Passo 7

Derivando cada termo:
  1. Para :
Usamos a Regra do Produto novamente:
  1. Para :
Novamente, aplicamos a Regra do Produto:

Passo 8

Juntando tudo:
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Simplificando:

Resposta

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Um trator, após a compra, terá seu valor depreciado a uma taxa de a.a… Sabendo que seu valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor de compra é de . Qual é o valor do trator após 3,5 anos?
Calcular as derivadas parciais indicadas:
12) ? , ?
Calcular as derivadas parciais indicadas:
17) ?, ?
Se , mostre que .