Calcular as derivadas parciais indicadas:
14)
?
14)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
onde
,
e
. Precisamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. Além disso, precisaremos conhecer as derivadas básicas das funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
,
e
na função
para expressá-la totalmente em termos de
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade das exponenciais onde
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
,
. Aplicamos a derivada termo a termo:
A derivada de uma constante, como 1, é zero. Para os outros termos, usamos a Regra do Produto, que diz que
.
Passo 4
Aplicando a Regra do Produto:
- Para
:
- Para
:
Portanto, a primeira derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão da primeira derivada:
Podemos fatorar:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
,
. Derivamos novamente a primeira derivada:
Vamos derivar termo a termo.
Passo 7
Derivando cada termo:
- Para
:
Usamos a Regra do Produto novamente:
- Para
:
Novamente, aplicamos a Regra do Produto:
Passo 8
Juntando tudo:
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Resposta
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Um trator, após a compra, terá seu valor depreciado a uma taxa de
a.a… Sabendo que seu valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor de compra é de
. Qual é o valor do trator após 3,5 anos?
Calcular as derivadas parciais indicadas:
12) ? ,
?
12)
Calcular as derivadas parciais indicadas:
17) ?,
?
17)
Se
, mostre que
.