Se
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa mostrar que a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a
e
é igual a zero, ou seja,
. Isso tá ligado ao estudo de funções harmônicas e ao Laplaciano, que é justamente essa soma das segundas derivadas. Vamos precisar calcular essas derivadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
. A função
é composta por duas partes:
e
. Vamos derivar cada uma separadamente.
Para
, usamos a regra da cadeia:
Para
, usamos a regra do quociente:
Então, a primeira derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Precisamos derivar novamente a expressão que encontramos no passo anterior:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Para
, trata
como constante:
Para
, usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, a segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. Assim como fizemos com a derivada em relação a
, vamos derivar cada parte da função
.
Para
:
Para
:
Então, a primeira derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, derivamos a expressão encontrada no passo anterior:
Derivando cada termo:
Para
, tratamos
como constante:
Para
, usamos a regra do produto e do quociente:
Então, a segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, vamos somar as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Vamos simplificar isso:
Primeiro, vamos combinar os termos com denominador
:
Expandindo e simplificando o numerador:
Ainda simplificando:
Agora, percebemos que os termos podem ser reorganizados para ver que se cancelam:
Então, a soma das segundas derivadas parciais é zero.
Resposta
Concluímos que
. Portanto, a função
satisfaz a equação de Laplace, sendo uma função harmônica.
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas parciais indicadas:
17) ?,
?
17)
Calcular as derivadas parciais indicadas:
14) ?
14)
Calcular as derivadas parciais indicadas:
5) ?, R
5)
sendo n o número de aparelhos produzidos.
(a) Determine, analiticamente, o custo de produção de 100 aparelhos.
(a) Determine, analiticamente, o custo de produção de 100 aparelhos.