Se , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa mostrar que a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e é igual a zero, ou seja, . Isso tá ligado ao estudo de funções harmônicas e ao Laplaciano, que é justamente essa soma das segundas derivadas. Vamos precisar calcular essas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . A função é composta por duas partes: e . Vamos derivar cada uma separadamente.
Para , usamos a regra da cadeia:
Para , usamos a regra do quociente:
Então, a primeira derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Precisamos derivar novamente a expressão que encontramos no passo anterior:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Para , trata como constante:
Para , usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Então, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . Assim como fizemos com a derivada em relação a , vamos derivar cada parte da função .
Para :
Para :
Então, a primeira derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Novamente, derivamos a expressão encontrada no passo anterior:
Derivando cada termo:
Para , tratamos como constante:
Para , usamos a regra do produto e do quociente:
Então, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos somar as segundas derivadas parciais de em relação a e :
Vamos simplificar isso:
Primeiro, vamos combinar os termos com denominador :
Expandindo e simplificando o numerador:
Ainda simplificando:
Agora, percebemos que os termos podem ser reorganizados para ver que se cancelam:
Então, a soma das segundas derivadas parciais é zero.

Resposta

Concluímos que . Portanto, a função satisfaz a equação de Laplace, sendo uma função harmônica.

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sendo n o número de aparelhos produzidos.
(a) Determine, analiticamente, o custo de produção de 100 aparelhos.