Se u=arctg(yx)+xx^2+y^2, mostre que partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa mostrar que a soma das segundas derivadas parciais de em relação a e é igual a zero, ou seja, . Isso tá ligado ao estudo de funções harmônicas e ao Laplaciano, que é justamente essa soma das segundas derivadas. Vamos precisar calcular essas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de partialpartial x arctan(yx) = 11 + (yx)^2 cdot (-yx^2) = -yx^2 + y^2 em relação a partialpartial x ( xx^2 + y^2 ) = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 . A função partial upartial x = -yx^2 + y^2 + y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 é composta por duas partes: e . Vamos derivar cada uma separadamente.
Para , usamos a regra da cadeia:
Para , usamos a regra do quociente:
Então, a primeira derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial upartial x = -yx^2 + y^2 + y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 em relação a partialpartial x ( -yx^2 + y^2 ) = -y cdot -2x(x^2 + y^2)^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2 , ou seja, partialpartial x ( y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 ) = (-2x)(x^2 + y^2)^2 - (y^2 - x^2)(2)(x^2 + y^2)(2x)(x^2 + y^2)^4 . Precisamos derivar novamente a expressão que encontramos no passo anterior:
= -2x(x^2 + y^2)^2 - 4x(y^2 - x^2)(x^2 + y^2) (x^2 + y^2)^4 = -2x(x^2 + y^2) - 4x(y^2 - x^2) (x^2 + y^2)^3
Vamos derivar cada termo separadamente.
Para = -2x(x^2 + y^2) - 4xy^2 + 4x^3 (x^2 + y^2)^3 = 4x^3 - 2x(x^2 + y^2) - 4xy^2 (x^2 + y^2)^3 , trata = 4x^3 - 2x^3 - 2xy^2 - 4xy^2 (x^2 + y^2)^3 = 2x^3 - 6xy^2 (x^2 + y^2)^3 como constante:
= 2x(x^2 - 3y^2) (x^2 + y^2)^3
Para partial^2 upartial x^2 = 2xy(x^2 + y^2)^2 + 2x(x^2 - 3y^2)(x^2 + y^2)^3 = 2xy(x^2 + y^2) + 2x(x^2 - 3y^2)(x^2 + y^2)^3 , usamos a regra do quociente:
= 2x^3y + 2xy^3 + 2x^3 - 6xy^2(x^2 + y^2)^3 = 2x^3(y + 1) + 2xy^3 - 6xy^2(x^2 + y^2)^3
Simplificando:
Então, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de partialpartial y arctan(yx) = 11 + (yx)^2 cdot 1x = xx^2 + y^2 em relação a partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) = 0 cdot (x^2 + y^2) - x(2y)(x^2 + y^2)^2 = -2xy (x^2 + y^2)^2 . Assim como fizemos com a derivada em relação a partial upartial y = xx^2 + y^2 - 2xy(x^2 + y^2)^2 , vamos derivar cada parte da função .
Para :
Para :
Então, a primeira derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial upartial y = xx^2 + y^2 - 2xy(x^2 + y^2)^2 em relação a partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) = x cdot -2y (x^2 + y^2)^2 = -2xy (x^2 + y^2)^2 , ou seja, partialpartial y ( -2xy(x^2 + y^2)^2 ) = -2x cdot (1)(x^2 + y^2)^2 - xy cdot 2(x^2 + y^2)(2y)(x^2 + y^2)^4 . Novamente, derivamos a expressão encontrada no passo anterior:
= -2x cdot (x^2 + y^2) - 4y^2 x(x^2 + y^2)^3 = -2x cdot x^2 + y^2 - 4x y^2(x^2 + y^2)^3
Derivando cada termo:
Para = -2x(x^2 + y^2 - 4x y^2) (x^2 + y^2)^3 = -2x x^2 - 2x y^2 + 8x^2 y^2 (x^2 + y^2)^3 , tratamos = -2x^3 - 2x y^2 + 8x^2 y^2 (x^2 + y^2)^3 como constante:
partial^2 upartial y^2 = -2xy (x^2 + y^2)^2 + -2x^3 - 2x y^2 + 8x^2 y^2 (x^2 + y^2)^3
Para , usamos a regra do produto e do quociente:
Então, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos somar as segundas derivadas parciais de partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = ( 2xy(x^2 + y^2) + 2x(x^2 - 3y^2)(x^2 + y^2)^3 ) + ( -2xy (x^2 + y^2)^2 + -2x^3 - 2x y^2 + 8x^2 y^2 (x^2 + y^2)^3 ) em relação a 2xy(x^2 + y^2) + 2x(x^2 - 3y^2) - 2x^3 - 2x y^2 + 8x^2 y^2 (x^2 + y^2)^3 e 2xyx^2 + 2xy y^2 + 2x x^2 - 6x y^2 - 2x^3 - 2x y^2 + 8x^2 y^2 :
= 2x^3 y + 2x y^3 + 2x^3 - 6x y^2 - 2x^3 - 2x y^2 + 8x^2 y^2
Vamos simplificar isso:
Primeiro, vamos combinar os termos com denominador = (2x^3 y + 2x^3 - 2x^3) + (2x y^3) + (-6x y^2 - 2x y^2 + 8x^2 y^2) :
= 2x^3 y + 2x y^3 + 0 + 8x^2 y^2 - 8x y^2
Expandindo e simplificando o numerador:
= 2x y (x^2 + y^2) + 8x^2 y^2 - 8x y^2
= 2x y (x^2 + y^2) + 8x^2 y^2 - 8x y^2
= 2x^3 y + 2x y^3 + 8x^2 y^2 - 8x y^2
2x^3 y - 2x^3 y + 2x y^3 - 2x y^3 + 8x^2 y^2 - 8x y^2 = 0
Ainda simplificando:
Agora, percebemos que os termos podem ser reorganizados para ver que se cancelam:
Então, a soma das segundas derivadas parciais é zero.

Resposta

Concluímos que . Portanto, a função satisfaz a equação de Laplace, sendo uma função harmônica.

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