Calcular as derivadas parciais indicadas:
17) ?, ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação passo a passo! A gente tem uma equação que relaciona , e , e precisamos encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas em uma equação. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é diferenciar essa equação com respeito a e depois com respeito a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Vamos começar encontrando . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação com relação a .
Primeiro, a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada de em relação a :
Simplificando:

Passo 5

A derivada do lado direito em relação a é zero, já que não depende de :

Passo 6

Juntando tudo, temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando a fração:

Passo 7

Distribuindo :
Agrupando os termos com :

Passo 8

Isolando :
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Passo 9

Agora, vamos encontrar . Vamos diferenciar a equação original com relação a .
Primeiro, a derivada de em relação a :

Passo 10

Agora, a derivada de em relação a :
Simplificando:

Passo 11

A derivada do lado direito em relação a :

Passo 12

Juntando tudo, temos:

Passo 13

Agrupando os termos com :

Passo 14

Isolando :
Fatorando :

Passo 15

Multiplicando e simplificando:
Para combinar os termos em uma fração só:

Resposta

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Calcular as derivadas parciais indicadas:
14) ?
Um trator, após a compra, terá seu valor depreciado a uma taxa de a.a… Sabendo que seu valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor de compra é de . Qual é o valor do trator após 3,5 anos?
Se , mostre que .
Calcular as derivadas parciais indicadas:
5) ?, R