Calcular as derivadas parciais indicadas:
17)
?,
?
17)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação passo a passo! A gente tem uma equação que relaciona
,
e
, e precisamos encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas em uma equação. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é diferenciar essa equação com respeito a
e depois com respeito a
, tratando
como uma função de
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação com relação a
.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 5
A derivada do lado direito
em relação a
é zero, já que não depende de
:
Passo 6
Juntando tudo, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando a fração:
Passo 7
Distribuindo
:
Agrupando os termos com
:
Passo 8
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Passo 9
Agora, vamos encontrar
. Vamos diferenciar a equação original com relação a
.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Passo 10
Agora, a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Passo 11
A derivada do lado direito
em relação a
:
Passo 12
Juntando tudo, temos:
Passo 13
Agrupando os termos com
:
Passo 14
Isolando
:
Fatorando
:
Passo 15
Multiplicando e simplificando:
Para combinar os termos em uma fração só:
Resposta
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14) ?
14)
Um trator, após a compra, terá seu valor depreciado a uma taxa de
a.a… Sabendo que seu valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor de compra é de
. Qual é o valor do trator após 3,5 anos?
Se
, mostre que
.
Calcular as derivadas parciais indicadas:
5) ?, R
5)