Calcular as derivadas parciais indicadas:
17) raizx^2-z^2+y^2 arcsen(zx)=ln raizy+1, partial zpartial x= ?, partial zpartial y= ?
R: partial zpartial x=y^2 z-x^2x(y^2-z), partial zpartial y=[1-4 y(y+1) arcsen(zx)] raizx^2-z^22(y+1)(y^2-z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação passo a passo! A gente tem uma equação que relaciona , e , e precisamos encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas em uma equação. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
raizx^2 - z^2 + y^2 arcsin(zx) = ln raizy + 1
Nosso objetivo é diferenciar essa equação com respeito a e depois com respeito a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Vamos começar encontrando ddx raizx^2 - z^2 = 12raizx^2 - z^2 cdot (2x - 2z partial zpartial x) = x - z partial zpartial xraizx^2 - z^2 . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação com relação a .
Primeiro, a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, a derivada de ddx (y^2 arcsin(zx)) = y^2 cdot 1raiz1 - (zx)^2 cdot ( partial zpartial x cdot x - zx^2) em relação a = y^2 cdot x partial zpartial x - zx^2 raiz1 - z^2x^2 = y^2 cdot x partial zpartial x - zx^2 raizx^2 - z^2x^2 = y^2 cdot x partial zpartial x - zx raizx^2 - z^2 :
Simplificando:

Passo 5

A derivada do lado direito ddx ln raizy + 1 = 0 em relação a é zero, já que não depende de :

Passo 6

Juntando tudo, temos:
x - z partial zpartial xraizx^2 - z^2 + y^2 cdot x partial zpartial x - zx raizx^2 - z^2 = 0
Multiplicando ambos os lados por x - z partial zpartial x + y^2 cdot x partial zpartial x - zx = 0 :
x - z partial zpartial x + y^2 (partial zpartial x - zx) = 0
Simplificando a fração:

Passo 7

Distribuindo x - z partial zpartial x + y^2 partial zpartial x - y^2 zx = 0 :
(-z + y^2) partial zpartial x + x - y^2 zx = 0
Agrupando os termos com :

Passo 8

Isolando (y^2 - z) partial zpartial x = -x + y^2 zx :
x (y^2 - z) partial zpartial x = -x^2 + y^2 z
Multiplicando ambos os lados por partial zpartial x = y^2 z - x^2x (y^2 - z) :
Então:

Passo 9

Agora, vamos encontrar ddy raizx^2 - z^2 = 12raizx^2 - z^2 cdot (-2z partial zpartial y) = -z partial zpartial yraizx^2 - z^2 . Vamos diferenciar a equação original com relação a .
Primeiro, a derivada de em relação a :

Passo 10

Agora, a derivada de ddy (y^2 arcsin(zx)) = 2y arcsin(zx) + y^2 cdot 1raiz1 - (zx)^2 cdot (partial zpartial y cdot x - z cdot 0x^2) em relação a = 2y arcsin(zx) + y^2 cdot partial zpartial yx raiz1 - z^2x^2 = 2y arcsin(zx) + y^2 cdot partial zpartial yraizx^2 - z^2 :
Simplificando:

Passo 11

A derivada do lado direito ddy ln raizy + 1 = 12 cdot 1y + 1 em relação a :

Passo 12

Juntando tudo, temos:
-z partial zpartial yraizx^2 - z^2 + 2y arcsin(zx) + y^2 cdot partial zpartial yraizx^2 - z^2 = 12(y + 1)

Passo 13

Agrupando os termos com (-z + y^2) partial zpartial y + 2y raizx^2 - z^2 arcsin(zx) = raizx^2 - z^22(y + 1) :

Passo 14

Isolando (y^2 - z) partial zpartial y = raizx^2 - z^22(y + 1) - 2y raizx^2 - z^2 arcsin(zx) :
(y^2 - z) partial zpartial y = raizx^2 - z^2 ( 12(y + 1) - 2y arcsin(zx) )
Fatorando :

Passo 15

Multiplicando e simplificando:
partial zpartial y = raizx^2 - z^2 ( 12(y + 1) - 2y arcsin(zx) )y^2 - z
Para combinar os termos em uma fração só:
partial zpartial y = [1 - 4y(y + 1) arcsin(zx)] raizx^2 - z^22(y + 1)(y^2 - z)

Resposta

partial zpartial x = y^2 z - x^2x (y^2 - z), partial zpartial y = [1 - 4 y(y + 1) arcsin(zx)] raizx^2 - z^22(y + 1)(y^2 - z)

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