Calcular as derivadas parciais indicadas:
5) z=e^-xy+ln (yx), partial^3 zpartial y partial x^2= ?, R : e^-xyy^3(xy-2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a derivada parcial de terceira ordem . Isso significa que vamos derivar a função duas vezes em relação a e depois uma vez em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções exponenciais e logarítmicas, além das regras para derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de z = e^-xy + ln(yx) em relação a partial zpartial x = ddx(e^-xy) + ddx(ln(yx)) . Lembre-se de que quando derivamos em relação a partial zpartial x = e^-xy (-1y) + (-1x) , tratamos partial zpartial x = -e^-xyy - 1x como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a :
Aplicando a regra da cadeia na primeira parte e a regra da derivada do logaritmo na segunda parte:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente partial^2 zpartial x^2 = ddx(-e^-xyy - 1x) em relação a partial^2 zpartial x^2 = -ddx(e^-xyy) - ddx(1x) para encontrar ddx(e^-xyy) = 1y cdot e^-xy cdot (-1y) = -e^-xyy^2 :
ddx(1x) = -1x^2
partial^2 zpartial x^2 = e^-xyy^2 + 1x^2
Derivando cada termo:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos partial^3 zpartial y partial x^2 = ddy(e^-xyy^2 + 1x^2) , vamos derivar esse resultado em relação a ddy(e^-xyy^2) = ddy(e^-xy) cdot 1y^2 + e^-xy cdot ddy(1y^2) para encontrar ddy(e^-xy) = e^-xy cdot (xy^2) :
ddy(1y^2) = -2y^3
Derivando cada termo:
ddy(e^-xyy^2) = e^-xy cdot (xy^2) cdot 1y^2 + e^-xy cdot (-2y^3)
Primeiro, derivando = e^-xy xy^4 - 2 e^-xyy^3 em relação a :
E derivando em relação a :
Agora, substituindo de volta:
O segundo termo não depende de , então sua derivada em relação a é zero.

Resposta

Assim, a derivada parcial de terceira ordem é:
partial^3 zpartial y partial x^2 = e^-xyy^3 (xy - 2)

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