Calcular as derivadas parciais indicadas:
5) ?, R

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a derivada parcial de terceira ordem . Isso significa que vamos derivar a função duas vezes em relação a e depois uma vez em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções exponenciais e logarítmicas, além das regras para derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de em relação a . Lembre-se de que quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a :
Aplicando a regra da cadeia na primeira parte e a regra da derivada do logaritmo na segunda parte:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar :
Derivando cada termo:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos , vamos derivar esse resultado em relação a para encontrar :
Derivando cada termo:
Primeiro, derivando em relação a :
E derivando em relação a :
Agora, substituindo de volta:
O segundo termo não depende de , então sua derivada em relação a é zero.

Resposta

Assim, a derivada parcial de terceira ordem é:

Exercícios relacionados

Se , mostre que .
Calcular as derivadas parciais indicadas:
17) ?, ?
sendo n o número de aparelhos produzidos.
(a) Determine, analiticamente, o custo de produção de 100 aparelhos.
em que indica o tempo (em horas) decorrido após o inicio da medição e a temperatura ) no instante .
(a) Qual o período da função?