Calcular as derivadas parciais indicadas:
9)
?
,
9)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de derivadas parciais. O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, onde
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental no cálculo para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que
é uma função composta: ela depende de
, que por sua vez depende de
,
e
. Para encontrar as derivadas parciais de
, precisamos derivar
em relação a
e depois multiplicar pela derivada de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto e a derivada do logaritmo natural.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Para
:
Usamos a derivada da potência e a regra da cadeia para a parte do seno.
Passo 5
Para
:
Aqui, aplicamos a derivada da potência e a derivada direta do termo com
.
Passo 6
Para
:
Aplicamos a regra da cadeia na derivada do termo
.
Passo 7
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
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2)
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que expresse o custo de impressão de
exemplares do livro para
.
Nos Exercicios de 25 a 36, calcule a derivada indicada, aplicando os teoremas desta seccão.
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.