Calcular as derivadas parciais indicadas:
9) ?
,

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas parciais. O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e , onde . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica fundamental no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que é uma função composta: ela depende de , que por sua vez depende de , e . Para encontrar as derivadas parciais de , precisamos derivar em relação a e depois multiplicar pela derivada de em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 3

Calculamos a derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a derivada do logaritmo natural.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e .
Para :
Usamos a derivada da potência e a regra da cadeia para a parte do seno.

Passo 5

Para :
Aqui, aplicamos a derivada da potência e a derivada direta do termo com .

Passo 6

Para :
Aplicamos a regra da cadeia na derivada do termo .

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de :
Para :
Para :
Para :

Resposta

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