Considere a função g, de domínio R , definida por g(x) = 2 + sen(4 x).
Estude a monotonia da função g, no intervalo ] 0, pi/2 [, indicando o valor dos extremos relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida para todos os números reais. A gente precisa estudar onde essa função está crescendo ou decrescendo no intervalo . Além disso, se houver algum ponto onde a função atinge um máximo ou mínimo relativo, a gente também vai identificar esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de derivada para analisar a monotonia da função.

Passo 2

Primeiro, para estudar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada de . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está mudando em relação a .
A função dada é:
Vamos derivar termo a termo:
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, e a derivada de onde é . Então:

Passo 3

Agora que temos a derivada, vamos analisar onde ela é positiva, negativa ou igual a zero no intervalo . Isso vai nos dizer onde a função está crescendo ou decrescendo.
Temos:
Como o fator 4 é positivo, o sinal de vai depender apenas do sinal de .
Lembrando que o cosseno é positivo quando o ângulo está entre e mais múltiplos de , e negativo caso contrário.
No intervalo , varia de a , cobrindo um ciclo completo do cosseno.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos onde , pois nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis extremos relativos.
Sabemos que quando , onde é um inteiro.
Então:
No intervalo , vamos encontrar os valores de que dão dentro desse intervalo.
Para :
(dentro do intervalo)
Para :
(também dentro do intervalo)
Para :
(fora do intervalo, já que )
Então, dentro do intervalo , temos dois pontos críticos:

Passo 5

Vamos agora determinar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para identificar se a função está crescendo ou decrescendo.
Dividimos o intervalo em três partes:
Vamos escolher um valor de em cada subintervalo e verificar o sinal de .
  1. Para em , por exemplo :
Então, está crescendo nesse intervalo.
  1. Para em , por exemplo :
Então, está decrescendo nesse intervalo.
  1. Para em , por exemplo :
Então, está crescendo nesse intervalo.

Resposta

No intervalo , a função apresenta:
  • Crescente em e
  • Decrescente em
Além disso, a função possui:
  • Máximo relativo em
  • Mínimo relativo em

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