Considere a função
, de domínio R , definida por
.
Estude a monotonia da função
, no intervalo
, indicando o valor dos extremos relativos, caso existam, e os intervalos de monotonia.
Estude a monotonia da função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função definida para todos os números reais. A gente precisa estudar onde essa função está crescendo ou decrescendo no intervalo
. Além disso, se houver algum ponto onde a função atinge um máximo ou mínimo relativo, a gente também vai identificar esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de derivada para analisar a monotonia da função.
Passo 2
Primeiro, para estudar onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a derivada de
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está mudando em relação a
.
A função dada é:
Vamos derivar termo a termo:
Sabemos que a derivada de uma constante é zero, e a derivada de onde
é
. Então:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos analisar onde ela é positiva, negativa ou igual a zero no intervalo
. Isso vai nos dizer onde a função
está crescendo ou decrescendo.
Temos:
Como o fator 4 é positivo, o sinal de
vai depender apenas do sinal de
.
Lembrando que o cosseno é positivo quando o ângulo está entre
e
mais múltiplos de
, e negativo caso contrário.
No intervalo
,
varia de
a
, cobrindo um ciclo completo do cosseno.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos onde
, pois nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis extremos relativos.
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro.
Então:
No intervalo
, vamos encontrar os valores de
que dão
dentro desse intervalo.
Para
:
Para
:
Para
:
Então, dentro do intervalo
, temos dois pontos críticos:
Passo 5
Vamos agora determinar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para identificar se a função está crescendo ou decrescendo.
Dividimos o intervalo
em três partes:
Vamos escolher um valor de
em cada subintervalo e verificar o sinal de
.
- Para
em , por exemplo :
Então,
está crescendo nesse intervalo.
- Para
em , por exemplo :
Então,
está decrescendo nesse intervalo.
- Para
em , por exemplo :
Então,
está crescendo nesse intervalo.
Resposta
No intervalo
, a função apresenta:
- Crescente em
e - Decrescente em
Além disso, a função possui:
- Máximo relativo em
- Mínimo relativo em
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Considere a função
, de domínio R , definida por
.
Determine , recorrendo à definição de derivadas de uma função num ponto.
Determine
Num concurso público para Professor do Ensino - Primário, foram inscritos 2500 candidatos. O único critério de eliminação era nota inferior a 3,0 na prova de Matemática ou na prova de Português. Após a apuração dos resultados, verificou-se que foram eliminados 330 candidatos, sendo 236 em Matemática e 210 em Português. Pergunta-se:
Quantos candidatos não foram eliminados?
Quantos candidatos não foram eliminados?
(a) Quantos reais você terá na sua conta após 8 anos, se a taxa de juros é de
a.a.?
Calcular as derivadas parciais indicadas:
3) ?, R
3)