Calcular as derivadas parciais de 1^a ordem das funções a seguir.
f(x, y, z) = e^(2xz^2) + 1/(3y) ln(yz)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem em relação a , e . Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções exponenciais, logaritmos e frações.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Observe que e são tratadas como constantes nesse caso.
A função é:
Derivando em relação a :
A segunda parte da soma não depende de , então sua derivada será zero:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Nesse caso, e são constantes.
Derivando a função:
A primeira parte não depende de , então sua derivada é zero. Para a segunda parte, usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:
Simplificando:
Ou ainda:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.
Derivando a função:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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