Determinar, usando a definição, as derivadas parciais
e
.
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em
usando a definição de derivada. A função
é definida de duas formas: uma para qualquer ponto diferente de
e outra especificamente em
. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada parcial e calcular os limites que aparecem nessa definição.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A definição da derivada parcial de
em relação a
em
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Como
e
, a função fica:
E sabemos que
.
Passo 4
Substituindo esses valores na definição da derivada parcial:
Então, a derivada parcial em relação a
no ponto
é 1.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. A definição é:
Passo 6
Vamos calcular
. Como
e
, a função fica:
E sabemos que
.
Passo 7
Substituindo esses valores na definição da derivada parcial:
Então, a derivada parcial em relação a
no ponto
é 0.
Resposta
As derivadas parciais de
no ponto
são: