Determinar, usando a definição, as derivadas parciais partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).
f(x, y)=c x^5x^4+y^4, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar as derivadas parciais de em usando a definição de derivada. A função é definida de duas formas: uma para qualquer ponto diferente de e outra especificamente em . Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada parcial e calcular os limites que aparecem nessa definição.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em relação a no ponto . A definição da derivada parcial de em relação a em é:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(h,0) = h^5h^4 + 0^4 = h^5h^4 = h . Como e , a função fica:
E sabemos que .

Passo 4

Substituindo esses valores na definição da derivada parcial:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1
Então, a derivada parcial em relação a no ponto é 1.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k em relação a no ponto . A definição é:

Passo 6

Vamos calcular f(0,k) = 0^50^4 + k^4 = 0k^4 = 0 . Como e , a função fica:
E sabemos que .

Passo 7

Substituindo esses valores na definição da derivada parcial:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0
Então, a derivada parcial em relação a no ponto é 0.

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x(0,0) = 1 e partial fpartial y(0,0) = 0 no ponto são:

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