Calcular as derivadas parciais de 1^a ordem das funções a seguir.
f(x, y) = 2*x^3*y + 1 + x*ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve entender como a função muda em relação a cada variável, mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, incluindo a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Como é constante, .
  2. Derivada de em relação a :
    • A derivada de uma constante é zero, então .
  3. Derivada de em relação a :
    • Aqui usamos a regra do produto: , onde e .
    • Calculando .
    • Para , usamos a regra da cadeia: , onde . Então, .
    • Aplicando a regra do produto: .

Passo 4

Agora, somando todas as derivadas parciais que calculamos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.

Passo 6

Derivando cada termo em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • .
  2. Derivada de em relação a :
    • Mais uma vez, a derivada de uma constante é zero, então .
  3. Derivada de em relação a :
    • Aqui, é constante, então usamos a regra da cadeia: .
    • Multiplicando por : .

Passo 7

Somando as derivadas parciais:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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