Calcular as derivadas parciais de
ordem das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso envolve entender como a função muda em relação a cada variável, mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, incluindo a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : - Como
é constante, .
- Como
-
Derivada de
em relação a : - A derivada de uma constante é zero, então
.
- A derivada de uma constante é zero, então
-
Derivada de
em relação a : - Aqui usamos a regra do produto:
, onde e . - Calculando
. - Para
, usamos a regra da cadeia: , onde . Então, . - Aplicando a regra do produto:
.
- Aqui usamos a regra do produto:
Passo 4
Agora, somando todas as derivadas parciais que calculamos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Passo 6
Derivando cada termo em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
.
-
-
Derivada de
em relação a : - Mais uma vez, a derivada de uma constante é zero, então
.
- Mais uma vez, a derivada de uma constante é zero, então
-
Derivada de
em relação a : - Aqui,
é constante, então usamos a regra da cadeia: . - Multiplicando por
: .
- Aqui,
Passo 7
Somando as derivadas parciais:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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Determinar, usando a definição, as derivadas parciais
e
.
Calcular as derivadas parciais de
ordem das funções a seguir.
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