Calcular as derivadas parciais de 1^a ordem das funções a seguir.
f(x, y) = e^(x^2 * y) + 1/y * ln(x^2 + 2 * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos encontrar como essa função muda em relação a e em relação a separadamente. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções exponenciais, logarítmicas e funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Temos duas partes na função:
Vamos derivar cada parte separadamente em relação a .
Para a primeira parte , usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte , a única parte que depende de é o logaritmo. Então:
Agora, juntando as duas partes:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, temos as duas partes da função:
Derivando cada parte separadamente em relação a .
Para a primeira parte , usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte , aplicamos a regra do produto e da cadeia:
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos o logaritmo:
Agora, aplicando a regra do produto:
Juntando as duas partes:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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