Calcular as derivadas parciais de
ordem das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais, que mostram como a função muda em relação a uma variável enquanto as outras permanecem constantes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais em relação a
,
e
.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
e
como constantes.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Isso porque, ao derivar uma exponencial, trazemos o exponente vezes a derivada do exponente em relação a
.
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Aqui,
é tratado como constante e a derivada de
é 1.
Por último, derivamos
em relação a
:
Novamente,
é constante em relação a
.
Agora, somamos essas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Novamente, trazemos o exponente vezes a derivada do exponente em relação a
.
Em seguida, derivamos
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
, multiplicado por 2x dá 8x
.
Por último, derivamos
em relação a
:
Isso porque não há
na expressão, então a derivada é zero.
Somando as partes:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Trazemos o exponente vezes a derivada do exponente em relação a
.
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Não há
na expressão, então a derivada é zero.
Por último, derivamos
em relação a
:
A derivada de
é
, então multiplicamos por
.
Somando todas as partes:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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ordem das funções a seguir.
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c) ( 1,0 ponto) Haver falhas em menos de
Calcular as derivadas parciais de
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Determinar, usando a definição, as derivadas parciais
e
.