Calcular as derivadas parciais de 1^a ordem das funções a seguir.
f(x, y, z) = z * cos(x * y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está ligado ao estudo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções que têm mais de uma variável, tratando cada variável independentemente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos tratar e como constantes e derivar em relação a .
A função é . A derivada de em relação a é . Mas aqui, , então precisamos usar a regra da cadeia.
Então,
Agora, derivamos em relação a , que é .
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são tratados como constantes.
Novamente, usando , a derivada de em relação a é vezes a derivada interna .
Então,
A derivada de em relação a é .
Portanto,

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.
A função é . Derivando em relação a , temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:

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