Calcular as derivadas parciais de
ordem das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está ligado ao estudo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções que têm mais de uma variável, tratando cada variável independentemente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que vamos tratar
e
como constantes e derivar em relação a
.
A função é
. A derivada de
em relação a
é
. Mas aqui,
, então precisamos usar a regra da cadeia.
Então,
Agora, derivamos
em relação a
, que é
.
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são tratados como constantes.
Novamente, usando
, a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada interna
.
Então,
A derivada de
em relação a
é
.
Portanto,
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são constantes.
A função
é
. Derivando em relação a
, temos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são: