Calcular as derivadas parciais de
ordem das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! O que a gente precisa fazer aqui é calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de derivadas parciais, onde vamos achar como a função muda em relação a cada uma das variáveis
,
e
. Para isso, vamos usar regras de derivação como a regra do produto, a regra da cadeia e derivadas básicas de funções trigonométricas e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que vamos chamar de
. Lembre-se que, ao derivar com respeito a uma variável, tratamos as outras como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo:
- Para
, reescrevemos como . Usando a regra da cadeia:
- Para
, usamos a regra do produto:
Então, somando os dois resultados:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, chamada de
.
Derivando termo a termo:
- Para
, que é :
- Para
, tratamos como constante e derivamos :
Somando os dois resultados:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, chamada de
.
Derivando termo a termo:
- Para
, não tem , então a derivada é zero:
- Para
, é constante e derivamos :
Então, somando os resultados:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
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no ponto
.
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no ponto