Calcular as derivadas parciais de 1^a ordem das funções a seguir.
f(x, y, z) = raiz(2xy) + x * cos(6z^2) * sen(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! O que a gente precisa fazer aqui é calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de derivadas parciais, onde vamos achar como a função muda em relação a cada uma das variáveis , e . Para isso, vamos usar regras de derivação como a regra do produto, a regra da cadeia e derivadas básicas de funções trigonométricas e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , que vamos chamar de . Lembre-se que, ao derivar com respeito a uma variável, tratamos as outras como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo:
  1. Para , reescrevemos como . Usando a regra da cadeia:
  1. Para , usamos a regra do produto:
Então, somando os dois resultados:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , chamada de .
Derivando termo a termo:
  1. Para , que é :
  1. Para , tratamos como constante e derivamos :
Somando os dois resultados:

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a , chamada de .
Derivando termo a termo:
  1. Para , não tem , então a derivada é zero:
  1. Para , é constante e derivamos :
Então, somando os resultados:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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f(x, y, z) = z * cos(x * y)
Calcular as derivadas parciais de 1^a ordem das funções a seguir.
f(x, y) = 2*x^3*y + 1 + x*ln(x^2 + y^2)
Determinar o vetor gradiente da função f(x, y) = e^(x^2 * y) no ponto P(1,-2).
Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico de f(x, y) = x + sen(3x + y) no ponto (0, pi/2, f(0, pi/2))