Determinar o vetor gradiente da função f(x, y) = e^(x^2 * y) no ponto P(1,-2).

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o vetor gradiente da função no ponto . Para isso, vamos trabalhar com derivadas parciais e entender o que é um vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função de duas variáveis, como , é composto pelas suas derivadas parciais em relação a e a . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Portanto,

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, o vetor gradiente fica:
Agora, vamos substituir os valores de e :
Simplificando:

Resposta

Portanto, o vetor gradiente da função no ponto é

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