Calcular o limite a seguir.
© lim (x, y) (0,0) x^5x^4+y^4

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse exercício está na área de cálculo multivariável, especificamente tratando de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de . O numerador é , que tende a 0 conforme tende a 0. O denominador é , que também tende a 0 quando e tendem a 0. Temos, então, uma indeterminação do tipo , que precisamos resolver.

Passo 3

Para resolver esse tipo de limite, uma estratégia útil é usar coordenadas polares, onde e . Assim, quando , .

Passo 4

Substituindo x^5x^4+y^4 = (r cos(theta))^5(r cos(theta))^4 + (r sin(theta))^4 = r^5 cos^5(theta)r^4 (cos^4(theta) + sin^4(theta)) = r cdot cos^5(theta)cos^4(theta) + sin^4(theta) e por suas expressões em coordenadas polares na função original:

Passo 5

Agora, observamos que é uma função contínua e limitada para todo . Portanto, existe um valor máximo tal que .

Passo 6

Isso implica que:
| x^5x^4+y^4 | = |r| cdot | cos^5(theta)cos^4(theta) + sin^4(theta) | <= |r| cdot |cos^5(theta)|M <= |r|M

Passo 7

Conforme lim (x, y) (0,0) x^5x^4+y^4 = 0 , . Pelo Teorema do Squeeze (ou Confinamento), se e , então:

Resposta

O limite é igual a .

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