Calcule as integrais duplas e ilustre a regiāo de integraçāo: , onde R é a regiāo limitada pelas restas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região que está limitada pelas retas , e . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e precisamos entender como definir os limites de integração com base na região .
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região que estamos integrando. As retas são , e . Vamos esboçar essas retas para visualizar melhor a área de integração.
Passo 3
Desenhando as retas:
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
também passa pela origem, mas com uma inclinação maior, 63.4°.
é uma linha vertical que corta as duas anteriores.
A interseção de e ocorre na origem. A linha corta em e em . Portanto, a região é um triângulo com vértices em , e .
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em e depois em . Para cada valor de entre 0 e 1, varia de a .
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a :
Integrando termo a termo:
Passo 6
Agora, integramos o resultado da integral interna com respeito a :