Calcule as integrais duplas e ilustre a regiāo de integraçāo:
integral duplaR^square(x^2+y^2) d A, onde R é a regiāo limitada pelas restas y=x, y=2 x e x=1. S: 5 / 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região que está limitada pelas retas , e . Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e precisamos entender como definir os limites de integração com base na região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região que estamos integrando. As retas são , e . Vamos esboçar essas retas para visualizar melhor a área de integração.

Passo 3

Desenhando as retas:
  • é uma linha reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  • também passa pela origem, mas com uma inclinação maior, 63.4°.
  • é uma linha vertical que corta as duas anteriores.
A interseção de e ocorre na origem. A linha corta em e em . Portanto, a região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em integralx=0^1 integraly=x^2x (x^2 + y^2) , dy , dx e depois em . Para cada valor de entre 0 e 1, varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, com respeito a integraly=x^2x (x^2 + y^2) , dy = integralx^2x x^2 , dy + integralx^2x y^2 , dy :
x^2 (y) |x^2x + y^33 |x^2x = x^2(2x - x) + (2x)^3 - x^33 = x^3 + 8x^3 - x^33 = x^3 + 7x^33 = 10x^33
Integrando termo a termo:

Passo 6

Agora, integramos o resultado da integral interna com respeito a integral0^1 10x^33 , dx = 103 integral0^1 x^3 , dx = 103 ( x^44 |0^1 ) = 103 ( 14 - 0 ) = 1012 = 56 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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