Dada a função , mostrar que .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema nos pede. Temos a função:
E precisamos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que nos permitem calcular como a função muda em relação a cada variável individualmente, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função tem duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente.
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte, também usamos a regra da cadeia:
Então, somando as duas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente.
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Então, somando as duas derivadas:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos multiplicar cada uma pelo respectivo coeficiente e somar:
Vamos distribuir os termos:
Simplificando cada termo:
  1. permanece como está.
Agora, juntando todos os termos:
Perceba que e se cancelam, assim como e .

Resposta

Portanto, temos que:

Exercícios relacionados

Determinar para cada uma das funçöes seguintes:
Seja uma função 2 -vezes diferenciável tal que:
Considerando a função definido por:
Calcular .
(Sugestão: Regra da Cadeia, II Forma)
Resolva a equação diferencial.
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função .