Dada a função x=sen ab+ln ba, mostrar que a partial xpartial a+b partial xpartial b=0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema nos pede. Temos a função:
x = sin(ab) + ln(ba)
E precisamos mostrar que:
a partial xpartial a + b partial xpartial b = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que nos permitem calcular como a função muda em relação a cada variável individualmente, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de x em relação a a, ou seja, partial xpartial a.
A função x tem duas partes:
  1. sin(ab)
  2. ln(ba)
Vamos derivar cada parte separadamente.
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
partialpartial a sin(ab) = cos(ab) cdot 1b
Para a segunda parte, também usamos a regra da cadeia:
partialpartial a ln(ba) = 1ba cdot (-ba^2) = -1a
Então, somando as duas derivadas:
partial xpartial a = cos(ab)b - 1a

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de x em relação a b, ou seja, partial xpartial b.
Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente.
Para a primeira parte:
partialpartial b sin(ab) = cos(ab) cdot (-ab^2) = -ab^2 cos(ab)
Para a segunda parte:
partialpartial b ln(ba) = 1ba cdot 1a = 1b
Então, somando as duas derivadas:
partial xpartial b = -ab^2 cos(ab) + 1b

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos multiplicar cada uma pelo respectivo coeficiente e somar:
a partial xpartial a + b partial xpartial b = a(cos(ab)b - 1a) + b(-ab^2 cos(ab) + 1b)
Vamos distribuir os termos:
= a cos(ab)b - a cdot 1a - a b cos(ab)b^2 + b cdot 1b
Simplificando cada termo:
  1. a cos(ab)b permanece como está.
  2. -a cdot 1a = -1
  3. -a b cos(ab)b^2 = -a cos(ab)b
  4. b cdot 1b = 1
Agora, juntando todos os termos:
a cos(ab)b - 1 - a cos(ab)b + 1
Perceba que a cos(ab)b e -a cos(ab)b se cancelam, assim como -1 e +1.

Resposta

Portanto, temos que:
a partial xpartial a + b partial xpartial b = 0

Exercícios relacionados