Dada a função
, mostrar que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema nos pede. Temos a função:
E precisamos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que nos permitem calcular como a função muda em relação a cada variável individualmente, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem duas partes:
Vamos derivar cada parte separadamente.
Para a primeira parte, usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte, também usamos a regra da cadeia:
Então, somando as duas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, vamos derivar cada parte da função separadamente.
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Então, somando as duas derivadas:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos multiplicar cada uma pelo respectivo coeficiente e somar:
Vamos distribuir os termos:
Simplificando cada termo:
-
permanece como está. -
-
-
Agora, juntando todos os termos:
Perceba que
e
se cancelam, assim como
e
.
Resposta
Portanto, temos que: