Resolva a equação diferencial.
y'' + y = tan x
Marque a alternativa correta:
(a) y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) - cos(x) sen(x)
(b) y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) - cos(x) ln |sec(x) + tan(x)|
© y(x) = c1 cos(x) + c2 sen(x) + ln |cos(x) + sen(x)|
(d) y(x) = c1 * e^x + c2 * e^(-x) - csc(x) * sec(x) + tan(x)
(e) y(x) = c1 * e^x + c2 * e^(-x) + sen(x) - 3 * cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método de solução para equações não homogêneas. Precisaremos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , vamos tentar uma solução particular que envolva funções trigonométricas e logaritmos. Uma boa aposta é:
Isso porque, ao derivarmos, conseguimos lidar com as funções trigonométricas que aparecem na equação.

Passo 4

Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :
Isso engloba todas as possíveis soluções para a equação dada.

Resposta

A alternativa correta é a (b):

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