Resolva a equação diferencial.
Marque a alternativa correta:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e método de solução para equações não homogêneas. Precisaremos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, vamos tentar uma solução particular que envolva funções trigonométricas e logaritmos. Uma boa aposta é:
Isso porque, ao derivarmos, conseguimos lidar com as funções trigonométricas que aparecem na equação.
Passo 4
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Isso engloba todas as possíveis soluções para a equação dada.
Resposta
A alternativa correta é a (b):