Calcular as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que são produtos de outras funções e como lidar com potências de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Podemos chamar:
Passo 3
Agora, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de
é:
Isso significa que precisamos derivar
e
separadamente.
Passo 4
Vamos derivar
.
A derivada de uma constante (3) é 0, e a derivada de
é:
Passo 5
Agora, vamos derivar
.
Aqui usamos a Regra da Cadeia, que é útil para derivar funções compostas. A regra diz que a derivada de
é:
Onde
. Agora, vamos derivar
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos substituir na regra do produto:
Passo 7
Podemos fatorar
para simplificar a expressão:
Passo 8
Expandindo os termos dentro dos colchetes:
Passo 9
Somando tudo:
Passo 10
Então, a derivada final fica:
Resposta
A derivada da função é
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Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
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Seja
uma função contínua por partes em
. Prove que
é de ordem exponencial sempre que existe uma constante
tal que