Calcular as derivadas das seguintes funções.
f(t) = (3 - 4 t^2) * (t^3 + t + 2)^6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que são produtos de outras funções e como lidar com potências de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da nossa função que estão sendo multiplicadas. Podemos chamar:

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é:
Isso significa que precisamos derivar e separadamente.

Passo 4

Vamos derivar .
A derivada de uma constante (3) é 0, e a derivada de é:

Passo 5

Agora, vamos derivar .
Aqui usamos a Regra da Cadeia, que é útil para derivar funções compostas. A regra diz que a derivada de é:
Onde . Agora, vamos derivar :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora que temos e , vamos substituir na regra do produto:

Passo 7

Podemos fatorar para simplificar a expressão:

Passo 8

Expandindo os termos dentro dos colchetes:

Passo 9

Somando tudo:

Passo 10

Então, a derivada final fica:

Resposta

A derivada da função é

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Calcule as derivadas das seguintes funções.
f(x) = x/3 - 2 tg(x)
Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
2 d^2 xd t^2+d^2 yd t^2=t^2 d^2 xd t^2-d^2 yd t^2=4 t x(0)=2 x^prime(0)=0 y(0)=-1 y^prime(0)=10
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lim t infty f(t)e^alpha t=0