Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que tá acontecendo aqui. O exercício nos apresenta um sistema de equações diferenciais de segunda ordem com algumas condições iniciais. A gente vai usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de problema. Para isso, vamos precisar transformar as equações no domínio da frequência, resolver lá e depois voltar para o domínio do tempo com a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações. Lembrando que a transformada de uma derivada de segunda ordem é:
Onde
é a transformada de
.
Passo 3
Aplicando a transformada nas equações (1) e (2):
Para a equação (1):
Sabemos que
. Substituindo os valores iniciais
,
,
,
:
Simplificando:
Ou seja:
Para a equação (2):
Sabemos que
. Substituindo os valores iniciais:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 4
Agora temos um sistema de equações (3) e (4) em termos de
e
:
Vamos resolver esse sistema. Para facilitar, podemos multiplicar as equações para eliminar os denominadores:
Multiplicando a equação (3) por
:
Multiplicando a equação (4) por
:
Agora, resolvemos o sistema para
e
. Após os cálculos, encontramos:
Resposta
As soluções para as equações diferenciais são:
Ou seja,
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