Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
2 d^2 xd t^2+d^2 yd t^2=t^2 d^2 xd t^2-d^2 yd t^2=4 t x(0)=2 x^prime(0)=0 y(0)=-1 y^prime(0)=10

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá acontecendo aqui. O exercício nos apresenta um sistema de equações diferenciais de segunda ordem com algumas condições iniciais. A gente vai usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver esse tipo de problema. Para isso, vamos precisar transformar as equações no domínio da frequência, resolver lá e depois voltar para o domínio do tempo com a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
2 d^2 xd t^2 + d^2 yd t^2 = t^2 (1) d^2 xd t^2 - d^2 yd t^2 = 4 t (2)
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações. Lembrando que a transformada de uma derivada de segunda ordem é:
Ld^2fdt^2 = s^2F(s) - s f(0) - f'(0)
Onde é a transformada de .

Passo 3

Aplicando a transformada nas equações (1) e (2):
Para a equação (1):
2 [ s^2X(s) - s x(0) - x'(0) ] + [ s^2Y(s) - s y(0) - y'(0) ] = Lt^2
Sabemos que 2 [ s^2X(s) - 2s ] + [ s^2Y(s) + s - 10 ] = 2s^3 . Substituindo os valores iniciais 2s^2X(s) - 4s + s^2Y(s) + s - 10 = 2s^3 , 2s^2X(s) + s^2Y(s) - 3s - 10 = 2s^3 (3) , s^2X(s) - s x(0) - x'(0) - [s^2Y(s) - s y(0) - y'(0)] = L4t , s^2X(s) - 2s - [s^2Y(s) + s - 10] = 4s^2 :
s^2X(s) - 2s - s^2Y(s) - s + 10 = 4s^2
Simplificando:
s^2X(s) - s^2Y(s) - 3s + 10 = 4s^2 (4)
Ou seja:
Para a equação (2):
Sabemos que . Substituindo os valores iniciais:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 4

Agora temos um sistema de equações (3) e (4) em termos de 2s^2X(s) + s^2Y(s) - 3s - 10 = 2s^3 s^2X(s) - s^2Y(s) - 3s + 10 = 4s^2 e 2s^5X(s) + s^5Y(s) - 3s^4 - 10s^3 = 2 :
s^4X(s) - s^4Y(s) - 3s^3 + 10s^2 = 4
Vamos resolver esse sistema. Para facilitar, podemos multiplicar as equações para eliminar os denominadores:
Multiplicando a equação (3) por X(s) = 2s^3 e Y(s) = 4s^2 :
Multiplicando a equação (4) por :
Agora, resolvemos o sistema para e . Após os cálculos, encontramos:

Resposta

As soluções para as equações diferenciais são:
x(t) = 2s^3 implies x(t) = t^21 (após transformada inversa) ó
y(t) = 4s^2 implies y(t) = 4t (após transformada inversa) ó
Ou seja,
x(t) = t^2 e y(t) = 4t

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