Seja uma função contínua por partes em . Prove que é de ordem exponencial sempre que existe uma constante tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é contínua por partes no intervalo . A missão aqui é provar que essa função é de ordem exponencial. O que isso significa? Basicamente, que a função cresce (ou decresce) de maneira controlada por uma exponencial. Para isso, vamos precisar entender o que é função de ordem exponencial e usar o conceito de limite para mostrar que se comporta bem em relação a uma função exponencial quando vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função de ordem exponencial. Dizemos que é de ordem exponencial se existe uma constante positiva e outro número tal que, para todo grande o suficiente, a função não cresce mais rápido que . Em termos matemáticos, isso quer dizer:
onde é algum ponto a partir do qual a desigualdade vale.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição dada no exercício:
O que isso quer dizer? Que, conforme fica bem grande, a razão entre e se aproxima de zero. Em outras palavras, cresce muito mais devagar que . Matemática e tecnicamente, isso implica que para qualquer número pequeno positivo , existe um tal que para todo :
Passo 4
Vamos escolher epsilon = 1 para simplificar. Com isso, temos que existe um t0 tal que para todo t > t0:
| f(t)e^alpha t | < 1 implies |f(t)| < e^alpha t
Isso mostra que podemos tomar M = 1 na definição de ordem exponencial, já que:
|f(t)| <= 1 cdot e^alpha t para todo t > t0
Resposta
Portanto, comprovamos que a função f(t) é de ordem exponencial.