Seja f(t) uma função contínua por partes em [0,+infty). Prove que f(t) é de ordem exponencial sempre que existe uma constante alpha tal que
lim t infty f(t)e^alpha t=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(t) que é contínua por partes no intervalo [0, +infty). A missão aqui é provar que essa função é de ordem exponencial. O que isso significa? Basicamente, que a função cresce (ou decresce) de maneira controlada por uma exponencial. Para isso, vamos precisar entender o que é função de ordem exponencial e usar o conceito de limite para mostrar que f(t) se comporta bem em relação a uma função exponencial e^alpha t quando t vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função de ordem exponencial. Dizemos que f(t) é de ordem exponencial se existe uma constante positiva alpha e outro número M tal que, para todo t grande o suficiente, a função f(t) não cresce mais rápido que M e^alpha t. Em termos matemáticos, isso quer dizer:
|f(t)| <= M e^alpha t para todo t > t0
onde t0 é algum ponto a partir do qual a desigualdade vale.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição dada no exercício:
limt infty f(t)e^alpha t = 0
O que isso quer dizer? Que, conforme t fica bem grande, a razão entre f(t) e e^alpha t se aproxima de zero. Em outras palavras, f(t) cresce muito mais devagar que e^alpha t. Matemática e tecnicamente, isso implica que para qualquer número pequeno positivo epsilon, existe um t0 tal que para todo t > t0:
| f(t)e^alpha t | < epsilon

Passo 4

Vamos escolher epsilon = 1 para simplificar. Com isso, temos que existe um t0 tal que para todo t > t0:
| f(t)e^alpha t | < 1 implies |f(t)| < e^alpha t
Isso mostra que podemos tomar M = 1 na definição de ordem exponencial, já que:
|f(t)| <= 1 cdot e^alpha t para todo t > t0

Resposta

Portanto, comprovamos que a função f(t) é de ordem exponencial.

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