Calcular as derivadas das seguintes funções.
f) f(t) = (3 - 4 t^2) * (t^3 + t + 2)^6

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a derivada da função . Vamos usar os conceitos de derivadas de funções compostas e a regra do produto. Para isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função . Vamos chamar:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e separadamente.
Derivada de :

Passo 4

Para derivar , que é uma função composta, vamos usar a regra da cadeia. A função externa é algo elevado a sexta potência, e a função interna é .
Primeiro, derivamos a parte externa:
Agora, derivamos a parte interna:
Então, a derivada de fica:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Podemos simplificar um pouco a expressão fatorando termos comuns. Observamos que é comum em ambos os termos:

Resposta

A derivada da função é:

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