O conjunto dos pontos de aderência de um conjunto também é chamado de fecho deste conjunto. Qual é o fecho de , isto é, qual é o conjunto ?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o fecho de Q^n, ou seja, o conjunto dos pontos de aderência desse conjunto. Para resolver isso, precisamos saber o que significa o fecho de um conjunto e como os números racionais Q se relacionam com os números reais R. Vamos usar conceitos de topologia e análise matemática para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o fecho de um conjunto A, denotado por , é o menor conjunto fechado que contém A. Isso inclui todos os pontos de A e todos os seus pontos de aderência, ou seja, pontos que podem ser “alcanceados” por sequências de pontos de A.
Passo 3
Sabemos que os números racionais Q são densos nos números reais R. Isso significa que, para qualquer número real, podemos encontrar uma sequência de números racionais que se aproxima desse número. Então, no caso de Q^n, isso se estende para cada coordenada.
Passo 4
Como cada componente dos vetores em Q^n é denso em R, o fecho de Q^n será o conjunto de todos os vetores em R^n. Ou seja, não há pontos em R^n que não possam ser aproximados por pontos em Q^n.