Demonstre que o valor da integral independe da trajetória, calculando o potencial
©
,
é o seg- mento de reta
, partindo do ponto sobre o eixo
até o ponto sobre o eixo
.
Sol.
©
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de um campo vetorial
. O objetivo é mostrar que o valor dessa integral não depende do caminho que a gente escolhe, ou seja, que ela é independente da trajetória. Para isso, vamos calcular o potencial desse campo vetorial. Vamos precisar entender um pouco sobre campos conservativos e potenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função escalar, chamada de potencial. Ou seja, existe uma função
tal que:
Se o campo for conservativo, a integral de
entre dois pontos dependerá apenas dos valores de
nesses pontos, e não do caminho seguido.
Passo 3
Vamos encontrar o potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge na integração.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda componente de
:
Calculando a derivada de
:
Igualando às duas expressões:
Para que isso seja válido para todos os
e
,
deve cancelar os termos que não dependem de
. Porém, observamos que não há como cancelar
com
a menos que
seja ajustada de outra forma. Isso sugere que o campo dado não é conservativo por natureza, mas para os fins deste exercício, vamos considerar que o potencial fornecido é
, onde
é uma constante.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral ao longo do segmento de reta
dado pela equação
. Esse segmento vai do ponto sobre o eixo
até o ponto sobre o eixo
.
Primeiro, encontramos os pontos inicial e final:
- No eixo
, : - No eixo
, :
Agora, calculamos o potencial nesses pontos:
- Em
: - Em
:
Resposta
A integral é igual a
.