Calcular as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função
. Isso faz parte do estudo de derivadas, que nos ajuda a entender como as funções mudam. Para resolver isso, vamos usar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar:
e
. Sabemos que a derivada de uma constante é zero, então a derivada de
será zero. Agora, vamos focar na primeira parte.
Passo 3
Temos a função
. Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função nessa forma
, a derivada é
. Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar
e
.
- Derivada de
é . - Para
, precisamos usar a regra da cadeia. Primeiro, derivamos o exterior: . Depois, multiplicamos pela derivada do interior: . Então, .
Passo 5
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Podemos fatorar
:
Agora, simplificamos dentro dos colchetes:
Passo 7
Portanto, o numerador fica:
E o denominador é
. Agora, podemos simplificar dividindo os termos com potências semelhantes:
Passo 8
Finalmente, lembrando que a derivada da segunda parte da função era zero, a derivada total da função
é:
Resposta
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Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Ache as derivadas
e
de:
Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
Calcular as derivadas das seguintes funções.