Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime+2 y+integral0^x y(xi) d xi=x, y(0)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve uma integral:
y^prime + 2 y + integral0^x y(xi) d xi = x, y(0) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial integral, que combina derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo diferencial e integral, além de manipular um pouco a equação para isolarmos .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. A ideia é eliminar a integral para termos uma equação apenas em termos de ddx( y^prime + 2 y + integral0^x y(xi) d xi ) = ddx(x) e suas derivadas. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a .
Derivando a equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada:
  • A derivada de y'' + 2 y' + y = 1 em relação a é .
  • A derivada de é .
  • A derivada da integral pelo Teorema Fundamental do Cálculo é .
  • A derivada de é 1.
Então, substituindo na equação:

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
y'' + 2 y' + y = 1
Para resolver essa equação, vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
y'' + 2 y' + y = 0

Passo 5

Resolvendo a equação homogênea, encontramos a equação característica:
r^2 + 2 r + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = -2 pm raiz4 - 42 = -1
Então, temos uma raiz dupla yh(x) = (C1 + C2 x) e^-x . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:

Passo 6

Agora, encontramos uma solução particular para a equação não homogênea 0 + 0 + A = 1 Rightarrow A = 1 . Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular constante, ou seja, , onde é uma constante a ser determinada.
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é .

Passo 7

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2 x) e^-x + 1

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = (C1 + C2 cdot 0) e^0 + 1 = C1 + 1 = 1 para encontrar as constantes e .
Substituindo na solução geral:
Isso nos dá .

Passo 9

Com y(x) = C2 x e^-x + 1 , a solução fica:
Para determinar , precisamos de mais uma condição, mas como só temos uma condição inicial, concluímos que a solução depende de . No entanto, se considerarmos a integral original, podemos encontrar que .

Passo 10

Finalmente, a solução particular que satisfaz a equação original e a condição inicial é:
y(x) = 1

Resposta

A solução do problema é .

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