Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve uma integral:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial integral, que combina derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo diferencial e integral, além de manipular um pouco a equação para isolarmos
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. A ideia é eliminar a integral para termos uma equação apenas em termos de
e suas derivadas. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
.
Derivando a equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é . - A derivada da integral
pelo Teorema Fundamental do Cálculo é . - A derivada de
é 1.
Então, substituindo na equação:
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para resolver essa equação, vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
Passo 5
Resolvendo a equação homogênea, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
Passo 6
Agora, encontramos uma solução particular para a equação não homogênea
. Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular constante, ou seja,
, onde
é uma constante a ser determinada.
Substituindo
na equação:
Então, a solução particular é
.
Passo 7
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar as constantes
e
.
Substituindo
na solução geral:
Isso nos dá
.
Passo 9
Com
, a solução fica:
Para determinar
, precisamos de mais uma condição, mas como só temos uma condição inicial, concluímos que a solução depende de
. No entanto, se considerarmos a integral original, podemos encontrar que
.
Passo 10
Finalmente, a solução particular que satisfaz a equação original e a condição inicial é:
Resposta
A solução do problema é
.
Exercícios relacionados
Ache as derivadas
e
de:
Ache as derivadas
e
de:
Calcular as derivadas das seguintes funções.
Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial: