Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações diferenciais e quer resolver usando a Transformada de Laplace. O que a gente precisa aqui é entender como aplicar essa ferramenta matemática para resolver sistemas de equações que envolvem derivadas. Vamos ver como fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema que temos:
Aqui, temos duas funções,
e
, e suas derivadas em relação ao tempo
. Também temos condições iniciais que nos dizem os valores de
e
quando
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações. A Transformada de Laplace transforma equações diferenciais do domínio do tempo para o domínio de
, que é mais fácil de resolver.
Lembrando que:
Aplicando isso às equações:
-
Para a primeira equação
: -
Para a segunda equação
:
Passo 4
Agora, substituímos as condições iniciais
e
nas equações transformadas:
-
Podemos reescrever como:
-
Simplifica para:
Passo 5
Vamos substituir a expressão de
da segunda equação na primeira:
Mas
Agora, vamos isolar
:
Agora que temos
, vamos encontrar
usando
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas para obter
e
.
Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
-
Para
: -
Para
:
Resposta
As soluções do sistema são:
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas das seguintes funções.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Calcular as derivadas das seguintes funções.
Suponha que
e
e
. Calcule
, onde
.