Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial:
y' = x x' = y x(0) = 0 y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações diferenciais e quer resolver usando a Transformada de Laplace. O que a gente precisa aqui é entender como aplicar essa ferramenta matemática para resolver sistemas de equações que envolvem derivadas. Vamos ver como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema que temos:
Aqui, temos duas funções, e , e suas derivadas em relação ao tempo . Também temos condições iniciais que nos dizem os valores de e quando .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações. A Transformada de Laplace transforma equações diferenciais do domínio do tempo para o domínio de , que é mais fácil de resolver.
Lembrando que:
Aplicando isso às equações:
  1. Para a primeira equação :
  2. Para a segunda equação :

Passo 4

Agora, substituímos as condições iniciais e nas equações transformadas:

  1. Podemos reescrever como:

  2. Simplifica para:

Passo 5

Vamos substituir a expressão de da segunda equação na primeira:

Mas , então substituindo:

Agora, vamos isolar :


Agora que temos , vamos encontrar usando :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas para obter e .
Sabemos que:
No nosso caso, , então:
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

As soluções do sistema são:

Exercícios relacionados

Calcular as derivadas das seguintes funções.
f(x) = x / (x^2 - x)^4 + raiz_cubica(37)
Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime+2 y+integral0^x y(xi) d xi=x, y(0)=1.
Calcular as derivadas das seguintes funções.
g(t) = 6 + cos^3(t)
Suponha que f(2) = 3 e f'(2) = 4, g(3) = 6 e g'(3) = -5. Calcule h'(2), onde h(x) = g(f(x)).