Dadas as funções e , determinar:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais:

A tarefa é determinar a derivada do produto escalar de consigo mesma, ou seja, . Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto escalar de dois vetores e como derivar funções em relação a .

Passo 2

Vamos começar calculando o produto escalar . O produto escalar de dois vetores é a soma das multiplicações das componentes correspondentes. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas multiplicações:
Somando esses resultados:

Passo 4

Agora precisamos derivar essa expressão em relação a . A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e vamos usar a regra do poder para derivar cada termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
© é a superfície do sólido delimitado pelo parabolóide e o plano ;
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Determinar uma representação vetorial das seguintes curvas: