Dadas as funções F(t) = (0, t, t^2) e G(t) = (0, t^2, -t), determinar: (G(t) · G(t))'

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais:

A tarefa é determinar a derivada do produto escalar de consigo mesma, ou seja, (G(t) · G(t))'. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto escalar de dois vetores e como derivar funções em relação a t.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto escalar . O produto escalar de dois vetores é a soma das multiplicações das componentes correspondentes. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas multiplicações:
Somando esses resultados:

Passo 4

Agora precisamos derivar essa expressão em relação a t. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e vamos usar a regra do poder para derivar cada termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de t^2 é
Então:

Resposta

Portanto, a derivada de em relação a t é:

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