Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais: G(t) = (sen(t) * cos(t), e^(-2t), 3/(t^2 + 2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de uma função vetorial, que no caso é . Para isso, vamos usar as regras de derivação para cada componente dessa função. Precisaremos lembrar da regra do produto, da derivada de funções exponenciais e da regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar derivando a primeira componente: . Como é um produto de duas funções de , vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda componente: . Essa é uma função exponencial com uma constante multiplicando . A derivada de em relação a é , onde é uma constante.
Aplicando isso:

Passo 4

Por último, vamos derivar a terceira componente: . Podemos reescrever essa expressão como para facilitar a aplicação da regra da cadeia.
A regra da cadeia nos diz que a derivada de é . Aqui, e .
Então:

Resposta

Portanto, a derivada da função vetorial é:

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