Calcular as derivadas das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de uma função vetorial, que no caso é
. Para isso, vamos usar as regras de derivação para cada componente dessa função. Precisaremos lembrar da regra do produto, da derivada de funções exponenciais e da regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar derivando a primeira componente:
. Como é um produto de duas funções de
, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos derivar a segunda componente:
. Essa é uma função exponencial com uma constante multiplicando
. A derivada de
em relação a
é
, onde
é uma constante.
Aplicando isso:
Passo 4
Por último, vamos derivar a terceira componente:
. Podemos reescrever essa expressão como
para facilitar a aplicação da regra da cadeia.
A regra da cadeia nos diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Então:
Resposta
Portanto, a derivada da função vetorial
é:
Exercícios relacionados
Dadas as funções
e
, determinar:
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
através de
(orientada positivamente) em cada caso:
© é a superfície do sólido delimitado pelo parabolóide
e o plano
;
©
Determinar uma representação vetorial das seguintes curvas:
Use o Teorema de Stokes para calcular
em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
© é o círculo
, no plano
;
©